札幌で個別指導塾開業を目指す三十代男性の日記
 現在、札幌在住の30代の私(40代突入しました)が、個別指導塾開業を目指す過程をブログにしてみようと思いました(開業しました)。教育関係のことなどもいろいろと書き込みたいと思います。 リンクフリー
合格者の高校、科目別の裁量問題平均点
 先日発売された道コン事務局・編の「北海道高校ガイドブック」には、各高校別の裁量問題の合格者平均点が載っています。やはり、数学の得点率が悪いですね……

 今年だけでなく去年の平均点も載っています。裁量問題出題校を受ける人には、いろいろと参考になるでしょう。

 それと、今年度版は、各高校の修学旅行先なども載っています。

 詳しくは、こちらを見て下さい。
 http://www.do-con.com/book/guide_high.html 

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平成23年度3月3日実施北海道公立高校入試 裁量問題数学の解説
 やはり、今年もいろいろなサイトを見ましたが、裁量問題数学の解説をやっているところがないみたいなのでやることにしました。裁量問題開始当初から3回連続ですね。
 塾に行っている人なら塾などでやってもらえるのかもしれませんが、そうでない人で解説が欲しい人もいると思うので。来年または再来年の受験に役立てて下さい。

 問題文については、北海道教育委員会のサイトにあるので、それを読んでください。2番については、解答がほとんど解説になっているので省略します。
 教育委員会の問題文と答えが載っているアドレス
 http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/gakuryoku.html
 数学裁量問題のページ
 http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/H23gakuryoku/h23suu_sai.pdf

 1番の問題は、3つの直線で三角形がつくれない場合を求めればいいだけです。
 ③のグラフのy切片が8とわかっているわけですから、座標(0、8)に鉛筆または定規の真ん中あたりを当ててくるりと一周まわしたような人は、どういうときに三角形ができないかだいたい見当がついたと思います。

 ①と③の直線が平行の時 a=1
 ②と③の直線が平行の時 a=-2
 最後は③の直線が①と②の交点を通る時 a=-11/3(裁量問題の受験者なら直線の式を求めるのは簡単でしょうから式は省略します)

 3番の問題は、整数の問題ですね。a、b、cにそれぞれのカードが入る場合の数を書き出してみます。

  a   b   c
  7   3   1  1の場合
 21   9   3  3の場合
 35  15   5  5の場合
 49  21   7  7の場合
 63  27   9  9の場合

 重複する場合を除いて全通り素直に計算した人もいると思います。ただ、まともに全通り計算するとミスも多くなります。もっと簡単にする方法があります。暗算が得意な人は楽勝だったかもしれませんが……
 
 まず、a、b、cそれぞれを3で割ったときのあまりに変換します。そうすると次のようになります。
 
  a   b   c
  1   0   1  1の場合
  0   0   0  3の場合
  2   0   2  5の場合
  1   0   1  7の場合
  0   0   0  9の場合

 a,b,cそれぞれの数を足して3で割り切れれば、その組み合わせは3で割り切れることになります。もちろん合計が0の組み合わせもOKです。

 最初の行について言うと
 aが1の時、合計が3になるのはc=2の時だけです。a=1、c=2の時、b=0は3通りです(bのカードが1と5は重複になるので除外されますから)。 

 同様に5行すべて計算すると、3で割れる組み合わせは18通りになることがわかります。
 1、4行目 3通り 2,5行目 3通り 3行目 6通り

 すでに感のいい人は気づいたかもしれませんが、問題の文の3bについては、これ自体が3の倍数になるので、省略して考えることができます。つまり以下のようになります。
 
  a   c
  1   1  1の場合
  0   0  3の場合
  2   2  5の場合
  1   1  7の場合
  0   0  9の場合

 どうせbは全部0なんだから前のと対して変わらないでしょうという感想を持つ人もいると思います。
 余りに目をつけられた人ならそんなに変わらないかもしれませんが、もし余りに目をつけられなかったとしまょう。3bが計算する必要がないと判断できれば、最初の組み合わせ表は次のようになります。

  a   c
  7   1  1の場合
 21   3  3の場合
 35   5  5の場合
 49   7  7の場合
 63   9  9の場合

 最初のだと60通りの計算ですが、これだと20通りの計算ですみます。ケアレスミスの確率もぐっと減ります。この問題、配点5点とでかかったですから倍率の高い高校で合否の分かれ目になった人もいるのではないでしょうか。


 今年の裁量問題は3問だけでしたね。やはり、去年、おととしと比べると簡単になった印象があります。1番のa=1、a=-2までは、容易に見つけられると思いますし、3番にしても、いい解法が見つからなくても全数計算で解けてしまいます。暗算速い人なら60通りの計算はたいしたことないでしょう。

 そのかわり標準問題が難しくなった印象があります。理科も難しくなっていましたね。裁量問題とは言っていないものの裁量問題も対策を練られてきたら理社を難化させて差をつけるのではないかと読んでいただけに、理科の難化は、やはりという感じです。今後、どの程度、理科や社会を難しくしてくるのか……
 
 国数英だけの裁量問題に気を取られていると理社で不合格ということになりかねませんね。理社もしっかりと勉強することが必要ですね。
 

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中一からの裁量問題対策(数学)
 裁量問題対策って結構悩みますよね、まだ2回しか出題されていないだけに対策も難しいと思います。個人的には数学が一番やっかいだと思っています。

 英語は英検や高校レベルの勉強を先取りすればすみそうですし、国語も難易度の高い問題集がたくさんあります。ただ、数学に関してだけは高校レベルまで進むと大学受験に即した問題となってしまいます。
 中学で習う範囲で難易度を上げた裁量問題のようなレベルの問題集がなかなかないのが実情だと思います。しかも各分野の融合問題が多い(「高校への数学」で勉強するという手もありますが難易度が高すぎて平均的な裁量問題受験者には不向きだと思います)

 裁量問題の勉強をするとき、早めに三年分の勉強を済ませてしまい融合問題に対応できるようにするのがいいのか、それとも各学年の進度に合わせた段階で裁量問題対策をするのがいいのか悩みます。

 先取りで三年分の数学の基礎をさっさと済ませてしまうといっても独学で勉強している人には厳しいでしょう。学習進度にあった裁量問題対策みたいな問題集があればいいのですが、今のところ、そういうのはありませんしね……

 ということで、中一用の裁量問題対策の問題をつくってみました。学習進度は、文字と式、指数までが終わった所を目安にしています。良かったらといてみてください。
 


 問1(制限時間 10分)

 1 96の約数はいくつあるか

 2 720÷nという式が整数になるnの個数を求めなさい

 3 -3以上6未満、-2以上4以下、絶対値3以下のそれぞれの範囲にある整数の個数と自然数の個数を求めなさい

 問2 制限時間 7分

 ある所に行って帰ってくるまで3分の1ずつの距離を、それぞれ時速akm/h、bkm/h、ckm/hで歩きました。平均の時速をa,b,cを使ってあらわしなさい 

 

 特に解答は載せませんので自信のある人はコメント欄に解答と解説を送ってきて下さい(表示されたくない人は管理者のみ表示コメントで送ってきて下さい)。

 これ制限時間内に全部解けた人がいたらすごいな。普通は一問位落とすでしょう。
 

 好評ならちょくちょく裁量問題対策の問題を作って載せたいと思うので問題を解いた感想なども送ってきて下さい。

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平成22年度北海道公立高校入試(2010/3/3実施)、裁量問題数学の解答と解説
さっき、道新の夕刊を買ってきたら高校入試数学の問題が載っていたのでまた去年と同じように裁量問題の解説をしたいと思います。多分、またどこのブログでもやらないと思うので(√の文字が見づらいですがご了承下さい)。


問1 

三角形ABCがありAB=acm,BC=bcm,CA=2√15cm、∠BCA=90°の△ABCがあります。a,bがともに自然数となるa,bの値を2つ求めなさい。

 ピタゴラスの定理を使い変形すると

 a^2-b^2=60
 (a+b)(a-b)=60

 a,bが自然数で積が正の整数という条件から(a+b)も(a-b)も正の整数になります。かけて60になる正の整数のパターンは次の6通りです(ただし、左側を(a-b)とします)。
 
 1×60=60
 2×30=60
 3×20=60
 4×15=60
 5×12=60
 6×10=60

 ここで、それぞれについて方程式を立てていきます。

 a-b=1
 a+b=60 両辺を足して

 2a=61

 ここで気づく人もいると思いますがa,b共に自然数の条件から右辺が奇数になることはありません。つまり、3×20、4×15、5×12など二つの数の和が奇数になるものは計算するまでもなく成立しません。
 
 残った二つの組み合わせについて方程式を立ててみます。

 a-b=2
 a+b=30

 2a=32 
  a=16
  b=14  これで1パターン成立です。

 a-b=6
 a+b=10
 2a=16
  a=8
  b=2   これが2パターン目。

 正解は、a=16,b=14の組とa=8,b=2です。なお一組につき2点の部分点があるそうです。


 別解
 
 自然数の二乗を1から書いて行き差が60の組み合わせを見つけるという方法もあります。20位までの二乗の数字を暗記しているなら、こちらの方が簡単。というか裁量問題の数学で点数を取ろうとするなら必須だと思います。
 去年も二乗の数を暗記していたら速く解ける問題が出ていました。興味のある人は去年の問題を見てみて下さい、このブログの過去の記事の中にあります。

 まず、1の二乗は1、次に2の二乗は4というふうにどんどん書いていきます。

 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

 144 169 196 225 256 289 324

 
 差が60になればいいのですから、そういう組み合わせをこの中から探していきます。まず、最初に1から見ていきます。1に60を足すと61、この中にはありません。

 次に4をみると4に60を足した64があります。
 これで、4と64を二乗する前の数、2と8のペアが見つかります。

 その次に9ですが、60足すのですから足された数の一の位は足す前の数の一の位と同じになります。つまりパッと見て60位を足したあたりに一の位に同じ数がなければさっさと次にいきます。すぐに196と256の組み合わせが見つかると思います。
 これから196と256を二乗する前の数、14と16が見つかります。

 20位までの二乗の数を暗記しているならこちらの方が速く解けます。速い人なら2,3分以内でしょう。裁量問題は難易度が高いだけに時間との勝負でもありますから、いろいろなパターンで解ける力とどの解放でとくのが一番速いかを見極める能力をつけておくと有利でしょうね。 


問2

 箱Pに1,2,3,4,5,6の数字を書いたボール、箱Qに0,2,4,6の数字を書いたボールが入っています。それぞれの箱から一個のボールを取り出したとき、Pから取り出したボールに書かれた数字をa、Qから取り出したボールに書かれた数字をbとします。
 (a,3)を座標A、(b,a)を座標Bとするとき線分ABの長さが√5になる確率を求めなさい。

 これも、問1と同じくピタゴラスの定理で簡単に解けます。こういう問題は表を書くとわかりやすいです。たてをa、横をbとしてそのときのA,Bの座標を表にまとめると次のようになります。

-----0-------2-------4-------6---
1 (1,3)(0,1) (1,3)(2,1) (1,3)(4,1) (1,3)(6,1)
2 (2,3)(0,2) (2,3)(2,2) (2,3)(4,2) (2,3)(6,2)
3 (3,3)(0,3) (3,3)(2,3) (3,3)(4,3) (3,3)(6,3)
4 (4,3)(0,4) (4,3)(2,4) (4,3)(4,4) (4,3)(6,4)
5 (5,3)(0,5) (5,3)(2,5) (5,3)(4,5) (5,3)(6,5)
6 (6,3)(0,6) (6,3)(2,6) (6,3)(4,6) (6,3)(6,6)

 この組み合わせの中から縦軸と横軸の長さが1と2または2と1になっているものを探します。実際にそうなっているのは次の組み合わせになります。最初が縦軸、次が横軸です。

 1,0 
 1,2
 2,0
 2,4
 4,2
 4,6
 5,4
 5,6

 6×4=24パターンのうち8通りなので確率は3分の1になります。なお、約分していないと5点から3点に減点だそうです。


問3
 
 1辺の長さが4cmの立方体ABCD-EFGHが平面Pの上にあります。辺CDの中点をMとします。この立方体に次の①②の操作を行います。次の問に答えなさい。ただし、円周率はπを用いなさい。
 立方体の図の説明だけでわかりにくい人は3月4日の道新の朝刊または3月3日の夕刊のバックナンバーを図書館などで見てください。

① 辺EFを軸として、2点A,Bが平面P上の点となるように90°まわす
② ①によって動いた図2の立方体の辺AEを軸として、2点D,Hが平面P上の点となるように90°まわす。

(1)①②のそれぞれの操作によって、点Gが動いてできた弧の長さの和を求めなさい。

   ①の操作では点Gは点Fを中心として弧を描くように90°まわることになります。
   点Fは直径8cmの円の中心と考えることができるので円周は8πcmです。
   まわるのは4分の1の距離なので、この操作でGは2πcm動きます。

   ②の操作は点Eを中心として回ります。今回の半径は線分EGになります。
   半径はピタゴラスの定理より4√2cm、直径は8√2cm、円周は8√2πcmです。
   ②の操作もまわるのは4分の1なので、Gが動く距離は2√2πcmになります。

   ①と②で動いた距離は、2π+2√2π=(2+2√2)π  
                                  (2+2√2)πcm

(2)①②の操作によって、線分DMが動いてできた図形の面積を求めなさい。

   ①の操作は単純に幅2cmのものが弧を描いて動いたと考えることができるので動いた距離×2cmで求まります。
   円柱の側面の面積を想像するとわかりやすいと思います。
   中心はFになるので半径は4√2cmです。前の問題で対角を動かすときの半径は出しているので計算するまでもないですね。直径は8√2cm、円周は8√2πcm、動く距離は4分の一なので2√2πcm。
   面積は2×2√2π=4√2π 平方cmメートル

   ②の操作は点Aを頂点としてDとMがそれぞれ円を書くようまわるというものです。大きな円Mの面積から小さな円Dの面積を引くと線分DMが動いてできた図形の面積と同じになります。もちろん動く距離は円周の4分の1なので、後で4分の1にするのを忘れないようにします。
   
   線分AMでつくる円の面積 √20×√20×π 平方cmメートル
   線分ADでつくる円の面積 4×4×π 平方cmメートル

   面積の差 20π-16π=4π
   90°しかまわらないので4分の1にして π 平方cmメートル

   ①と②の面積をあわせると

   4√2π+π=(1+4√2)π
                              (1+4√2)π 平方cmメートル  

 
 

 去年より若干簡単に感じたのですが気のせいでしょうか、それともちょっと私が慣れたのでしょうか。今回の数学の裁量問題の配点は18点だそうです。
 
 だんだん受験生も問題慣れしてくるでしょうから、そのうちトップ高ではまた差があまりつかなくなりケアレスミス勝負になるかもしれませんね。


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北海道公立高校入試(2009/3/4実施)、裁量問題数学の解答と解説
 公立高校の入試が終わってから2週間がたちますが、どこを探しても裁量問題の解説とかが見当たりません。今年は裁量問題導入初年度で話題になったということもあり大手の塾のサイトや中小の塾の塾長ブログで問題の解説などをしているところがあると思ったんですが、なぜかまだありません。受験生やその他の人でも問題のことにふれている人はいても解説やっている人はいないようです。

 どんな問題でどの程度のレベルだったのか知りたい人は多いはず、解答のみなら新聞などでわかるのですが……

 ということで、国語と英語は問題をブログ記事に全部載せるのは大変なので数学についてだけ私が私見も交えていろいろと解説したいと思います。問題の表現は若干変えてますのでご了承ください。
 なお、裁量問題が出題される高校の受験を考えている生徒が読むとの前提のため基本的すぎて簡単と思われる部分の説明は省略します。

 問1

 下の表は、ある規則にしたがってつくった式と、その式の値を、1行目からa行目まで並べたものです。この表のa行目の式の値と(a-1)行目の式の値の差が2009となるとき、aの値を求めなさい。

         式        式の値
 1行目  1           1
 2行目  2+2         4
 3行目  3+3+3
 4行目  4+4+4+4
  :
  :
 a行目


 問2

 1つのさいころを2回投げて1回目に出た目の数をa、2回目に出た目の数をbとします。このとき、次の式の値が整数になる確率を求めなさい。
 式は分数にルートがかかったもので、分子が432、分母がa×b


 問3

 点Aの座標が(1,-2)、点Bの座標を(a,b)とします。a,bはともに正の整数とします。点Oは原点とします。△OABの面積が5となるa,bの値の組を4つ求めなさい。


 問4

 長さ4cmの線分ABを直径とする半円があります(円周は上側)。点Pをこの半円の周上の点とします。面積が2平方センチメートルで、AP<BPである△PABを、定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし、作図にもちいた線は消さないこと。


 解答

 問1

 規則性を見つけて方程式を立てさせる問題です。簡単ですが、時間や食塩水などの問題と違ってあまり見かけない問題なので式のパターンのみを覚えて、それに当てはめていつも問題を解いている人は難しく感じたかもしれません。 
 自分の頭で考えて式を立てていくことができるかどうかみる問題といえるでしょう。

 1行目の時は1が1個、2行目の時は2が2個、3行目の時は3が3個なので、a行目の時はaがa個です。
 つまり、式の部分は単純にその行目の2乗になっているだけです。

 上の文章を1行目の時は1×1、2行目の時は2×2、3行目の時は3×3、a行目の時はa×aと書くとわかりやすいでしょう。
 a行目から(a-1)行目を引いたときに差が2009になるので式は次のようになります。(^は乗数ということをあらわします。^2で2乗を意味します)

 a^2-(a-1)^2=2009

 これを解いてa=1005が求まります。


 問2

 分子432を分母a×bで割ったものが整数の2乗になっていればいいというのはすぐわかると思います。
 432を因数分解すると 2×2×2×2×3×3×3 となります。

 式の値が整数になるためには2と3がそれぞれ偶数でなければなりません。そう考えると、まず、始めに3が奇数というのが目につくと思います。
 432を3ひとつで割れば残りは

 2×2×2×2×3×3
 
 となって、2、3ともに偶数となります。ということで、まず、分母が3の場合、式の値が整数になるのがわかります。

 次に、2×2×3で割った場合も残りは

 2×2×3×3

 となって、式の値は整数になります。これで分母が12の場合もOKということがわかります。

 次に2×2×2×2×3で割る場合ですが、これは考える必要がありません。なぜならサイコロの目を2つかけたものの最大値は36なので、2×2×2×2×3=48で割ることはありえないからです。同様に3×3×3で割ることもありません。さいころの目を2つかけたものが27になることはないので。

 以上から分母が3または12の場合、式の値が整数になるのがわかります。
 
 さいころの目、a×bのパターンは全部で36通り、そのうち、3と12になるのは以下の6通りです。

 (1,3)(3,1)
 (2,6)(6,2)
 (3,4)(4,3)
 
 正解は6分の1となります。


 問3

 点Aと点Oの座標は求まっているので、どこに点Bを持っていくかというのが問題になりますが、面積が5になる点は無数に存在します。ここで、B点の座標がa,bが共に正の整数をとるというのがヒントになります。(縦軸をY座標、横軸をX座標として以下の説明を進めます) 

 まず、一番簡単に求まる点は(1,8)です。これは簡単な理由です。B点のX座標がA点のX座標、1と同じになるようにして、面積が5になるB点のY座標を探します。
 どうして、AのX座標と合わせるかというとグラフを書いてみればわかりますが、単純に三角形の面積の公式が使えるからです。底辺はAからBまでのY座標の距離で求まりますし、高さはX座標が同じなので1とすぐにわかります。B点が(1,8)の場合、面積は10(底辺)×1(高さ)÷2=5になりますから、これは題意に合います。

 問題は残りの3点ですが、1点がわったため簡単に見つける方法があります。三角形の頂点を通るように底辺と平行に直線を引いた場合、頂点がその直線上を動いても三角形の面積は変わりません(三角形の面積は底辺×高さ÷2です。頂点が直線上を動いても高さは変わりません)
 
 つまり、最初に出した答えの(1,8)から底辺(底辺をOAとする)と平行に頂点を動かしても面積は5ということです。底辺の傾きは-2ですから、X座標に1つ進んでY座標で2つさがると次の座標の答えが求まることになります(題意より整数の座標なので)。
 (1,8)に対して、X座標に1つ進んでY座標で2つさがると(2,6)、さらにX座標に1つ進んでY座標で2つさがると(3,4)、もう1回X座標に1つ進んでY座標で2つさがると(4,2)。

 ということで答えは下記の4つになります。

 (1,8)(2,6)(3,4)(4,2)

 この問題、最初の座標はわかっても次のはちょっと思い浮かばないかもしれません。

 が……

 実は、次の問4の問題、三角形の底辺に平行に引いた直線上に頂点がある場合、その点が直線上のどこにあっても三角形の面積は同じという原理を使っています。この問題で気づかなくても次の問題で気づけるように出題しているような気がしてなりません。だとしたら、すごい考えられてつくられていますね。
 実際、問4を解いて問3の答えが思い浮かんだという人もいるのではないでしょうか。


 問4

 これは、2点間の中間点をコンパスを使って求めることが出来れば簡単に解けると思います。中点の求め方は簡単なので教科書などで確認してください(基本事項ですので説明は省略します)。

 面積が2平方センチメートルの三角形をつくるわけですから高さがAB上から1の所の円周上にPをとればいいというのがわかります。(ABは4なので)
 なお、PはAP<BPよりA側の円周上。

 まず、線分ABの中点を求め垂線を引きます。

 AB=4より円の半径は2とわかります。つまり、円の中心から円周までのABの2等分線の長さも2です。この線をABの時のように2等分して2等分線を引けばAB上との距離が1の平行線が出来ます。その平行線と円周(A側)の交点にPをとり三角形をつくればOKです。


 テレビで解答速報を見て、解答の数字は写してても詳しい解説はなかったので、すぐに自分がやろと思ったのですが、そのうち大手のサイトでも詳しい解説出るだろうなと思っていました。でも、出ませんでしたね。

 出来れば、合格発表よりずっと早い段階にやりたかったのですが本業が忙しくて時間がなかなかとれませんでした。出来れば、翌日とか翌々日にやりたかっです。そのあたりにこういうの見たい人が一番多かったでしょうから。

 裁量問題、来年はどうなるんでしょうね。今期のデータを各高校から集めて夏までにある程度の結論を出すらしいです。


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